Ôn tập A – Z về hàm số mũ, hàm số lôgarit nhanh chóng

Cột mốc quan trọng của các học sinh lớp 12 đang cận kề, muốn đạt điểm cao với môn Toán thì học sinh cần nắm vững các kiến thức về hàm số mũ và hàm Logarit. Để giúp các em ôn tập và làm chủ hàm mũ, logarit một cách dễ dàng, Trường Việt Anh đã hệ thống và tổng hợp các kiến thức quan trọng về hàm số mũ và hàm Logarit ở nội dung bên dưới. Chúc các em củng cố nhanh chóng kiến thức của mình để tự tin bước vào các kỳ thi quan trọng trong thời gian sắp tới.

Lý thuyết hàm số mũ và hàm số logarit

Ôn tập lý thuyết về hàm số mũ và hàm logarit sẽ giúp chúng ta hiểu rõ về từng dạng hàm số và dễ dàng ứng dụng vào bài tập.

Lý thuyết về hàm số mũ

Theo định nghĩa của toán học, hàm số mũ được viết dưới dạng công thức y=f(x)=a^x. Trong đó cơ số a là một số dương khác 1.

Ví dụ:

• y=10^x có cơ số a bằng 10
• y = 2^(x/2) có cơ số a bằng √2
• y = e^x có cơ số a bằng e

Lý thuyết về hàm số logarit

Hàm logarit là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit và được định nghĩa bằng công thức như sau: a>0, a1, x>0.

Theo công thức về hàm số mũ thì hàm mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit. Hàm số logarit có công thức là y=log_ax hay còn gọi là hàm số logarit cơ số a.

Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit

Tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit gốc rễ để giải mọi vấn đề, cần phải hiểu rõ các tính chất này trước khi đi vào các bài tập vận dụng.

Tính chất của hàm số mũ

Định lý đạo hàm của hàm số mũ được viết theo 2 công thức sau:

• Định lý 1: Hàm số y=e^x có đạo hàm là (e^x)’ = e^x
• Định lý 2: Hàm số y=a^x có đạo hàm là (a^x)’ = a^xln a.

Chúng ta cùng xét hàm y=a^x với a>0, a1 ta có những tính chất sau:

• Tập xác định của hàm số mũ: (-∞, +∞)
• Đạo hàm số mũ là: y’= a^xln a
• Chiều biến thiên:
  • a>1 thì hàm số luôn luôn đồng biến.
  • 0<a<1 thì hàm số luôn luôn nghịch biến.
• Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang
• Đồ thị hàm số mũ: Đồ thị đi qua các điểm (0, 1), (1, a), nằm phía trên trục hoành và thỏa điều kiện (y=a^x > 0, x∈R)

Tính chất của hàm số lôgarit

• Cho hàm số y=log_ax. Khi đó đạo hàm của hàm logarit trên là y’= 1/(xLna)
• Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y=log_au(x). Lúc này đạo hàm của hàm số logarit là y’= (u'(x))/(u(x)Lna)

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

Cách khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số mũ như sau:

Với y=a^x (a > 0; a 1).

• Tập xác định của hàm số: D = R.
• Tập giá trị của hàm số: T = (0; +∞).
• Khi a>1: Hàm số đồng biến trên (0; +∞).
• Khi 0 <a <1: Hàm số luôn luôn nghịch biến trên (0; +∞).

Khảo sát đồ thị của hàm số mũ:

• Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;1)
• Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
• Nhận trục hoành Ox làm tiệm cận ngang.

Hình dạng đồ thị:

Thủ thuật tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit siêu nhanh

Dưới đây là một số cách để học sinh tiết kiệm được thời gian và dễ dàng tìm được tập xác định:

Các bước tìm tập xác định của hàm số mũ kèm ví dụ minh họa

Tập xác định của hàm số mũ là tập hợp những giá trị làm cho nó có nghĩa. Với hàm số mũ y=a^x(a>0, a 1) thì có nghĩa với mọi giá trị, tức là tập xác định của nó chính là tập số thực R.

Do đó, khi gặp bài toán tìm tập xác định của hàm số mũ dạng y = a^u(x) (a > 0, a  1) thì ta chỉ cần tìm điều kiện để u(x) xác định. Để tìm tập xác định, chúng ta thực hiện 3 bước sau:

• Bước 1: Nêu điều kiện trên là không có điều kiện
• Bước 2: Chỉ ra điều kiện để u(x) xác định
• Bước 3: Giải các phương trình, hệ phương trình ở bước 2 và xác định tập nghiệm

Chúng ta cùng thử áp dụng lý thuyết vào ví dụ minh họa sau:

Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số sau:

Y = ( (x+3)/(x-3))²⁰¹⁸ –3 (25-x^2)^(1-√8) + 3

Hàm số trên xác định khi và chỉ khi:

{x+3 ≠ 0; x-3 ≠ 0; 25-x2>0} {x-3;  x3;-5<x<5}

Vậy tập xác định của hàm số D là (-5; 5)\ {-3; 3}

Các bước tìm tập xác định của hàm số logarit kèm ví dụ minh họa

Với hàm số logarit, chúng ta có 3 điều kiện hàm logarit ở dạng tổng quát như sau:

• Cơ số a dương và khác 1.
• Với trường hợp hàm số y=log_a [u(x)] thì điều kiện là u(x)>0, còn nếu a có chứa x thì ta bổ sung thêm điều kiện để a dương và khác 1.
• Với trường hợp đặc biệt, hàm số logarit dạng: y=log_a [u(x)]ⁿ thì điều kiện sẽ là u(x)>0 nếu n lẻ và u(x) ≠0 nếu n chẵn.

Tóm lại, tập xác định của hàm logarit y=log_au (x) (a>0, a1) là tìm điều kiện để u(x)>0 và u(x) xác định.

Để tìm tập xác định của hàm logarit y=log_au (x) (a>0, a1), chúng ta thực hiện 3 bước sau:

• Bước 1: Xác định điều kiện có nghĩa cho hàm logarit u(x)
• Bước 2: Xác định x để u(x) > 0
• Bước 3: Giải các phương trình, hệ phương trình ở bước 2 và xác định tập nghiệm

Chúng ta cùng thử áp dụng lý thuyết vào ví dụ minh họa sau:

Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số sau: y = log(x² – 4x +3)

Hàm số trên chỉ xác định khi và chỉ khi: x² – 4x + 3 > 0 ⟺ x > 3 hoặc x <1 

Vậy tập xác định  D (−∞,1) (3, +∞)

Xem thêm: Cách giải phương trình bậc 2 đơn giản kèm theo File bài tập

Một số dạng bài tập cơ bản

Dưới đây là một số dạng bài tập cơ bản và hướng giải quyết vấn đề để các em tiện làm quen và làm bài tập một cách chính xác nhất.

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại

Trong chương trình toán 12 hàm số mũ và logarit thường có dạng bài này và được vận dụng vào các bài kiểm tra. Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT thì dạng bài này thường được dùng cho các đề thi trắc nghiệm. Để tính toán kết quả nhanh chóng của dạng bài này, chúng ta nên thực hiện như sau:

• Bước 1: Quan sát dáng đồ thị ở đề bài đã ra.
• Bước 2: Tiến hành đối chiếu với hàm số bài cho và tính toán đáp án, chọn kết luận chính xác.

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị

Với dạng toán đạo hàm hàm số mũ này, chúng ta tiến hành phân tích và giải theo hướng như sau:

• Bước 1: Quan sát các đồ thị để nhận xét về tính đơn điệu và các cơ số của đồ thị. Nếu hàm đồng biến thì cơ số sẽ lớn hơn 1. Ngược lại nếu hàm số nghịch biến thì cơ số sẽ lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1.
• Bước 2: Dựa vào đồ thị của hàm số và tiến hành so sánh các cơ số.
• Bước 3: Kết hợp tất cả các điều kiện ở trên chúng ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa các cơ số và đồ thị.

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số

Đây là dạng toán quan trọng trong năm học lớp 12 về hàm số mũ và logarit mà bạn cần nắm vững. Với dạng toán này, chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

• Bước 1: Áp dụng công thức sau để tính đạo hàm: (u +/- v)’ = u’+/- v’; (uv)’ = u’v + uv’; (uv)’ = (u’v-uv’)/v2
• Bước 2: Dựa vào các công thức như: hàm đa thức, phân thức, lũy thừa và hàm mũ, logarit để tính đạo hàm các hàm số thành phần.
• Bước 3: Tiến hành tính toán và đưa ra kết luận.

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số

Dạng bài này chúng ta sẽ cần áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính giới hạn của các hàm số. Cụ thể:

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN trên một đoạn

Dạng toán chuyên đề này thường xuất hiện trong các bất phương trình và phương trình hàm mũ. Để làm được, chúng ta cần thực hiện lần lượt theo 3 bước sau đây:

• Bước 1: Tính y’, tìm các nghiệm x_1,  x_2,… x_n thuộc [a;b] của phương trình y’=0.
• Bước 2: Tính f(a), f(b), f(x₁), … f(x_n).
• Bước 3: Tiến hành so sánh các giá trị vừa tính được ở trên và đưa ra các kết luận GTLN, GTNN của hàm số. Kết quả GTNN m là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được. Kết quả GTLN M là số lớn nhất trong các giá trị tính được.

Bài viết trên Trường Việt Anh đã cung cấp đầy đủ kiến thức về hàm số mũ, cũng như các dạng bài tập phổ biến. Chúc các bạn lĩnh hội được hoàn toàn kiến thức và đạt điểm xuất sắc trong các kỳ thi sắp tới!