Đồ thị hàm số y = ax + b & cách giải bài toán chi tiết

Đồ thị hàm số y = ax + b là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong chương trình học phổ thông. Đây là dạng hàm số bậc nhất, có dạng một đường thẳng được xác định bởi hệ số a và giao điểm với trục tung tại b. Việc hiểu rõ cách vẽ và phân tích đồ thị này sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn để có thể giải được những bài toán liên quan. Hãy cùng Trường Việt Anh tìm hiểu chi tiết về đồ thị của hàm số y = ax + b trong bài viết dưới đây.

Đồ thị của hàm số y = ax + b

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng với những tính chất sau:

• Cắt trục tung tại điểm b.
• Trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0 và song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0.

Đồ thị của hàm số này cũng được gọi là đường thẳng y=ax+b và b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
Ngoài ra, hàm số y=ax+b cắt trục hoành tại điểm \(Q\left(-\frac{b}{a};0\right)\).

Phương trình y = ax + b cũng được gọi là đường thẳng

Cách vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b

Chọn điểm P (0;b) trên trục Oy và chọn điểm \(Q\left(-\frac{b}{a};0\right)\) trên trục Ox. Vẽ đường thẳng PQ ta được đồ thị hàm số y bằng ax + b. Đồng thời, bạn cũng cần lưu ý những điểm sau:

• Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng nên khi muốn vẽ, ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị.
• Trong trường hợp giá trị \(-\frac{b}{a}\) khó có thể xác định trên trục Ox, thì ta có thể chọn một giá trị \(x_1\) sao cho điểm \(Q'(x_1; y_1)\) với \(y_1 = ax_1 + b\) để dễ xác định hơn trong mặt phẳng tọa độ.

Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b khá đơn giản

Các dạng toán cơ bản về đồ thị hàm số và lời giải chi tiết

Để thành thạo về đồ thị hàm số, việc nắm vững các dạng toán cơ bản là vô cùng quan trọng. Trong đề mục này, Trường Việt Anh sẽ tổng hợp đầy đủ các dạng toán thường gặp cùng lời giải chi tiết về đồ thị y = ax + b, giúp học sinh dễ dàng áp dụng công thức toán lớp 12 vào giải bài tập và hiểu rõ về đặc điểm của các hàm số này.

Vẽ đồ thị của hàm số và xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng trong các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Nếu b = 0 ta có đồ thị của hàm số y = ax là đường thẳng đi qua điểm A (1;a) và gốc tọa độ O (0;0).
• Trường hợp 2: Nếu \( b \ne 0 \) thì đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng đi qua các điểm \( A(0; b) \) và \( B\left(-\frac{b}{a}; 0\right) \).

Bài tập: Hãy vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 1.

Lời giải: 

• Bước 1: Ta cho x = 0 ta được điểm P (0; 1) ∈ Oy và cho x = -1 thì ta được điểm Q(-1; -2).
• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua điểm P, Q ta được đồ thị hàm số y = 3x + 1.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số

• Bước 1: Ta tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2: Tính đạo hàm \( y’ = f'(x) \).
• Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \).
• Bước 4: Tính giới hạn \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} y; \quad \lim_{x \to -\infty} y \) và tìm tiệm cận (nếu có).
• Bước 5: Tiến hành lập bảng biến thiên.
• Bước 6: Kết luận tính biến thiên và cực trị của đồ thị hàm số (nếu có).
• Bước 7: Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (các điểm đối xứng, giao với trục \(Ox, Oy, \ldots\)).
• Bước 8: Vẽ đồ thị của hàm số.

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 – 3×2 + 2.

Lời giải: 

• Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \).
• Chiều biến thiên: \( y’ = 3x^2 – 6x. \) Xét \( y’ = 0 \Leftrightarrow
  \begin{cases}
  x = 0 \\
  x = 2
  \end{cases} \)
• Các giới hạn tại vô cực:

\[
\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} x^3\left(1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{x^3}\right) = +\infty;
\]
\[
\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} x^3\left(1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{x^3}\right) = -\infty.
\]

Xem thêm: Cách học giỏi môn toán lớp 10 | Chinh phục toán 10 cấp tốc

Tìm tập xác định và tiệm cận của hàm số

Bài tập: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x + 1x – 2 là đường thẳng có phương trình gì?

Lời giải: Ta có \[ \lim_{x\to 2^+} y=\lim_{x\to 2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x\to 2^-} y=\lim_{x\to 2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty. \] Vì vậy, \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trên.

So sánh đồ thị của các hàm số

Bài tập: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây:

Lời giải: Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \( y = \log_a x \) với điểm \( A(2; -1) \) thuộc đồ thị hàm số, nên \( -1 = \log_a 2 \Rightarrow a^{-1} = 2 \Rightarrow \frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0{,}5. \) Như vậy, đồ thị hàm số là \( y = \log_{0{,}5} x. \)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Xét hàm số \(ax^2+bx+c\;(a\neq 0)\). Biệt thức \(\Delta=b^2-4ac\), theo đó:

• Khi \(a>0\): Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(-\frac{\Delta}{4a}\) tại \(x=-\frac{b}{2a}\) và có tập giá trị
  \[
  T=\left[\, -\frac{\Delta}{4a}\;;\;+\infty \right).
  \]
• Khi \(a<0\): Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(-\frac{\Delta}{4a}\) tại \(x=-\frac{b}{2a}\) và có tập giá trị
  \[
  T=\left(\, -\infty\;;\; -\frac{\Delta}{4a} \right].
  \]

Bài tập: Hàm số \(y=-x^2+4x+3\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải: Xét hàm số: \( y = -x^2 + 4x + 3 \) có \( a = -1, b = 4 \) và \( c = 3 \), ta có:
\[
a = -1 < 0;
\]
\[
-\frac{\Delta}{4a} = -\frac{(b^2 – 4ac)}{4a} = 7;
\]
\[
-\frac{b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2.
\]
Như vậy, ta có hàm số \( y = -x^2 + 4x + 3 \) có giá trị lớn nhất là \( 7 \) tại \( x = 2 \).

Giải phương trình và bất phương trình bằng đồ thị

Dựa vào đồ thị của hàm số, hãy giải thích bất phương trình bậc nhất một ẩn y = x2 – 0,5x – 5 ≤ 0.

• Với \( x \) thuộc hai khoảng \( \left( \frac{5}{2}; +\infty \right) \) và \( (-\infty; -2) \), thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành. Vì vậy, \( f(x) > 0 \) khi \( x \in (-\infty;-2) \cup \left( \frac{5}{2}; +\infty \right) \).
• Với \( x \) thuộc \( (-2; \frac{5}{2}) \), thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành. Vì vậy, \( f(x) < 0 \) khi \( x \in (-2; \frac{5}{2}) \).
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ \( x = \frac{5}{2} \) và \( x = -2 \).

Vậy bắt phương trình có tập nghiệm là \( S = [-2; \frac{5}{2}] \).

Qua bài viết này, Trường Việt Anh mong rằng bạn đã nắm vững những kiến thức cơ bản về đồ thị hàm số y = ax + b và cách giải các bài toán liên quan. Việc hiểu rõ bản chất của hàm số sẽ giúp bạn giải các bài tập một cách nhanh chóng cũng là một trong những cách học giỏi toán hơn.

Có thể thấy, toán học tư duy là chìa khóa mở ra cánh cửa tương lai. Việc trang bị cho trẻ một nền tảng toán học vững chắc là cách giúp các em phát triển những kỹ năng học tập quan trọng như tư duy logic, khả năng phân tích, giải quyết vấn đề. Với chương trình đào tạo toán nâng cao hàng đầu, hãy để Trường Quốc tế Việt Anh – một trong những trường cấp 3 tư thục uy tín đồng hành cùng con bạn. Liên hệ với chúng tôi qua thông tin dưới đây để được tư vấn và hỗ trợ.

Thông tin liên hệ:

• Địa chỉ:
  • Cơ sở Việt Anh Phú Nhuận: 269A Nguyễn Trọng Tuyển, phường Phú Nhuận, Tp.HCM.
  • Cơ sở Việt Anh Gò Vấp: 160/72 Phan Huy Ích, phường An Hội Tây, Tp.HCM.
  • Cơ sở Việt Anh Bình Tân: 951/7 Tỉnh lộ 10, phường Bình Tân, Tp.HCM.
  • Cơ sở Mầm Non Việt Anh – Lê Đức Thọ: 573 Lê Đức Thọ, phường An Hội Đông TP.HCM.
  • CS Mầm Non Nhân Lễ: 22 Đường D2, KDC Long Hậu, ấp Long Hậu 3, xã Cần Giuộc, Tỉnh Tây Ninh ( tỉnh Long An cũ ).
  • CS Rạch Giá (An Giang): Trường Quốc Tế Mekong Xanh – Lô E7, Đường số 13, KĐT Tây Bắc, P. Rạch Giá, T. An Giang
• Website: https://truongvietanh.com/
• Điện thoại: 091 696 1409