Cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Việc nắm vững kiến thức về ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) là nền tảng toán học quan trọng, giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến phân số và chia hết. Tuy nhiên, không ít bạn vẫn còn nhầm lẫn giữa hai khái niệm này hoặc chưa biết cách tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất sao cho nhanh và chính xác nhất. Cùng Trường Việt Anh tìm hiểu trong bài viết sau đây!

Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) là gì?

Ước chung lớn nhất (viết tắt là ƯCLN) của hai hay nhiều số là số nguyên dương lớn nhất mà tất cả các số đó đều chia hết cho.

Hiểu một cách đơn giản, đây là con số “chung” lớn nhất có thể dùng làm số chia cho tất cả các số đã cho.

Ví dụ, để tìm ƯCLN của 18 và 24:

• Ta tìm các số mà 18 có thể chia hết: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
• Ta tìm các số mà 24 có thể chia hết: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
• Các số chung mà cả 18 và 24 cùng chia hết là: {1, 2, 3, 6}.
• Trong các số chung này, 6 là số lớn nhất.

Vậy, 6 chính là số lớn nhất mà cả 18 và 24 đều chia hết cho. Ta kết luận: ƯCLN(18, 24) = 6.

Một ứng dụng quan trọng là cách tìm ước chung thông qua ước chung lớn nhất. Khi đã biết ƯCLN(18, 24) = 6, ta chỉ cần tìm các ước của 6 là {1, 2, 3, 6}, đây chính là tập hợp đầy đủ các ước chung của 18 và 24.

Cách tìm ước chung lớn nhất nhanh nhất

Có nhiều phương pháp để xác định ƯCLN từ cơ bản đến nâng cao. Dưới đây là 3 phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất.

3 cách tìm ước chung lớn nhất: liệt kê ước số, phân tích thừa số nguyên tố và thuật toán Euclid

Phương pháp 1: Liệt kê các ước số

Đây là phương pháp cơ bản, phù hợp khi tìm ƯCLN của các số nhỏ.

Bước 1: Liệt kê tất cả các ước của mỗi số.

Bước 2: Tìm ra các phần tử chung trong các tập hợp ước vừa liệt kê.

Bước 3: Chọn số có giá trị lớn nhất trong các phần tử chung đó.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(15, 45)

• Ước của 15: Ư(15) = {1, 3, 5, 15}
• Ước của 45: Ư(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
• Ước chung của 15 và 45: ƯC(15, 45) = {1, 3, 5, 15}

→Vậy ƯCLN(15, 45) = 15.

Phương pháp 2: Phân tích ra thừa số nguyên tố

Phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố được áp dụng rộng rãi trong chương trình học phổ thông vì tính chính xác và hiệu quả. Tại các trường tư thục tốt nhất TPHCM, học sinh thường được rèn luyện phương pháp này thông qua các bài tập tư duy thực tiễn để ghi nhớ sâu hơn thay vì học vẹt.

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lấy mỗi thừa số chung với số mũ nhỏ nhất của chúng.

Bước 4: Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau. Tích đó chính là ƯCLN.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(56, 84)

• Phân tích: 56 = 2³ x 7 và 84 = 2² x 3 x 7
• Thừa số nguyên tố chung là 2 và 7.
• Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2 (trong 2²). Số mũ nhỏ nhất của 7 là 1.

→Vậy ƯCLN(56, 84) = 2² x 7 = 4 x 7 = 28

Lưu ý: Để thực hiện phương pháp này, trước hết học sinh cần nắm vững khái niệm số nguyên tố là gì và cách phân biệt chúng với hợp số.

Phương pháp 3: Thuật toán Euclid (Chia liên tiếp)

Thuật toán Euclid là một cách tìm ước chung lớn nhất rất hiệu quả, đặc biệt với các số lớn, giúp giảm thiểu thời gian tính toán. Thuật toán này không chỉ là công cụ tính toán mà còn là một trong các định lý toán học quan trọng giúp phát triển tư duy logic và thuật toán cho học sinh. Quy trình thực hiện như sau:

Bước 1: Lấy số lớn chia cho số nhỏ hơn.

Bước 2: Quan sát số dư của phép chia.

* Nếu số dư = 0, thì số chia chính là ƯCLN. Thuật toán kết thúc.

* Nếu số dư ≠ 0, ta chuyển sang bước tiếp theo.

Bước 3: Lấy số chia của phép tính trước đó làm số bị chia mới, và lấy số dư làm số chia mới. Quay lại thực hiện Bước 1. Quá trình này được lặp lại cho đến khi có một phép chia hết.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(124, 24)

• Lần chia 1: Lấy 124 (số lớn) chia cho 24 (số nhỏ).
  • 124 = 24 x 5 + 4 (Số dư là 4, khác 0)

• Lần chia 2: Lấy số chia cũ (24) chia cho số dư cũ (4).
  • 24 = 4 x 6 + 0 (Số dư bằng 0)

• Kết luận: Phép chia đã hết. Số chia của phép tính cuối cùng này là 4.

→ Vậy ƯCLN(124, 24) = 4

Lưu ý khi tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Những lưu ý khi tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Để quá trình tìm ƯCLN trở nên nhanh chóng và hiệu quả hơn, bạn có thể ghi nhớ một vài trường hợp đặc biệt sau đây. Việc này giúp tiết kiệm đáng kể thời gian, nhất là trong các bài kiểm tra.

Hai số nguyên tố

Khi hai số đều là số nguyên tố khác nhau, ước chung lớn nhất của chúng luôn luôn bằng 1. Đây là trường hợp đơn giản nhất vì hai số này không có bất kỳ ước chung nào khác ngoài 1.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(7, 23).

Vì 7 và 23 đều là số nguyên tố, ta có thể kết luận ngay ƯCLN(7, 23) = 1

Một số chia hết cho số kia

Nếu trong hai số a và b, số a chia hết cho số b, thì ƯCLN của chúng chính là số b (số nhỏ hơn).

Ví dụ: Tìm ƯCLN(36, 12).

Ta thấy 36 chia hết cho 12 (36 ÷ 12 = 3), vì vậy không cần phân tích hay liệt kê, ta có ngay kết quả ƯCLN(36, 12) = 12.

Bộ ba số hoặc nhiều số cùng lúc

Khi tìm ƯCLN của ba số trở lên, các phương pháp như phân tích ra thừa số nguyên tố vẫn được áp dụng tương tự. Điểm quan trọng cần nhớ là bạn phải chọn ra các thừa số nguyên tố chung cho tất cả các số trong bộ đó.

Đây là cách tìm ước chung lớn nhất của 3 số (hoặc nhiều hơn):

Ví dụ: Tìm ƯCLN(42, 56, 70).

• Phân tích các số:
  • 42 = 2 x 3 x 7
  • 56 = 2³ x 7
  • 70 = 2 x 5 x 7

• Thừa số nguyên tố chung cho cả ba số là 2 và 7. (Số 3 và 5 không phải là thừa số chung của cả ba)
• Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1. Số mũ nhỏ nhất của 7 là 1.

→ Vậy ƯCLN(42, 56, 70) = 2¹ x 7¹ = 14.

Bài tập cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Để củng cố kiến thức vừa học, chúng ta sẽ cùng nhau thực hành qua một số dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Dạng 1: Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 2 số

Đây là dạng bài tập nền tảng và phổ biến nhất. Phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố thường được ưu tiên sử dụng để đảm bảo độ chính xác.

Bài tập: Tìm ƯCLN của 72 và 90.

Cách giải:

• Bước 1: Phân tích 72 và 90 ra thừa số nguyên tố.
  • 72 = 8 x 9 = 2³ x 3²
  • 90 = 9 x 10 = 2 x 3² x 5
• Bước 2: Tìm các thừa số nguyên tố chung. Ta thấy 2 và 3 là thừa số chung.
• Bước 3: Chọn số mũ nhỏ nhất tương ứng của các thừa số chung.
  • Với thừa số 2, số mũ nhỏ nhất là 1 (trong 2¹).
  • Với thừa số 3, số mũ nhỏ nhất là 2 (trong 3²).
• Bước 4: Nhân các kết quả lại.
  • ƯCLN(72, 90) = 2¹ x 3² = 2 x 9 = 18.

Dạng 2: Tìm ƯCLN của nhiều số (>2 số)

Tương tự như với 2 số, phương pháp phân tích thừa số nguyên tố vẫn là cách tìm ước chung lớn nhất hiệu quả nhất cho trường hợp này.

Bài tập: Tìm ƯCLN của 48, 60 và 84.

Cách giải:

• Bước 1: Phân tích cả ba số ra thừa số nguyên tố.
  • 48 = 16 x 3 = 2⁴ x 3
  • 60 = 6 x 10 = 2² x 3 x 5
  • 84 = 4 x 21 = 2² x 3 x 7
• Bước 2: Tìm các thừa số nguyên tố chung của cả ba số. Ta thấy 2 và 3 là thừa số chung.
• Bước 3: Chọn số mũ nhỏ nhất tương ứng.
  • Với thừa số 2, số mũ nhỏ nhất là 2 (trong 2²).
  • Với thừa số 3, số mũ nhỏ nhất là 1 (trong 3¹).
• Bước 4: Nhân các kết quả lại.
  • ƯCLN(48, 60, 84) = 2² x 3¹ = 4 x 3 = 12.

Dạng 3: Cách tìm ước chung lớn nhất trên máy tính Casio

Sử dụng máy tính Casio (phổ biến là dòng FX-580VNX) là phương pháp nhanh nhất để kiểm tra đáp án. Dưới đây là cách bấm máy tính tìm ước chung lớn nhất.

Lưu ý: Trên máy FX-580VNX, chức năng GCD (Ước chung lớn nhất) có màu đỏ, nằm trên phím nhân (x), nên ta cần dùng phím ALPHA để gọi lệnh.

Sử dụng hàm GCD để tìm ƯCLN trên máy tính Casio một cách nhanh chóng

1. Để tìm ƯCLN của 2 số (Ví dụ 72 và 90):

• Bước 1: Nhấn phím ALPHA rồi nhấn phím x (dấu nhân) để hiện ra chữ GCD(.
• Bước 2: Nhập số đầu tiên: 72.
• Bước 3: Nhấn phím SHIFT rồi nhấn phím ) (dấu đóng ngoặc) để nhập dấu phẩy ngăn cách.
• Bước 4: Nhập số thứ hai: 90.
• Bước 5: Nhấn phím đóng ngoặc ) và nhấn dấu =.

→ Kết quả hiển thị là: 18.

2. Để tìm ƯCLN của 3 số (Ví dụ 48, 60 và 84):

Thực hiện lồng hai hàm GCD theo công thức: GCD(GCD(a,b),c).

• Bước 1: Bấm ALPHA rồi phím x để có GCD(.
• Bước 2: Bấm tiếp ALPHA rồi phím x lần nữa để có GCD(GCD(.
• Bước 3: Nhập 48, bấm dấu phẩy (tổ hợp phím SHIFT và ) ), sau đó nhập 60.
• Bước 4: Đóng ngoặc ). Lúc này màn hình hiển thị: GCD(GCD(48,60)
• Bước 5: Nhập tiếp dấu phẩy, và nhập số cuối cùng là 84.
• Bước 6: Đóng ngoặc ) và nhấn dấu =.

→ Kết quả hiển thị là: 12.

Xem thêm: Các bí quyết và cách học giỏi môn Toán cho học sinh

Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Bên cạnh ƯCLN, Bội chung nhỏ nhất (BCNN) cũng là một khái niệm toán học quan trọng, thường được ứng dụng trong các bài toán quy đồng mẫu số phân số. Việc rèn luyện thông qua lộ trình toán tư duy bài bản sẽ giúp học sinh nhạy bén hơn trong việc tìm ra các bội số chung mà không cần phụ thuộc quá nhiều vào máy tính.

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) là gì?

Bội chung của hai hay nhiều số là tập hợp các số có thể chia hết cho tất cả các số đó.

Trong tập hợp các bội chung khác 0, số nhỏ nhất được gọi là Bội chung nhỏ nhất, ký hiệu là BCNN.

Ví dụ: Tìm BCNN của 6 và 8.

• Các bội của 6: B(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}
• Các bội của 8: B(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
• Các bội chung của 6 và 8: BC(6, 8) = {0, 24, 48, …}
• Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung này là 24.

→ Vậy BCNN(6, 8) = 24

Cách tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Những phương pháp thông dụng nhất tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Tương tự như ƯCLN, có nhiều cách để xác định BCNN. Dưới đây là các phương pháp thông dụng nhất.

Phương pháp 1: Liệt kê bội số

Phương pháp này đơn giản nhưng thường chỉ hiệu quả với các số nhỏ vì tập hợp bội số là vô hạn.

Bước 1: Viết ra một dãy các bội số của từng số.

Bước 2: Tìm số khác 0 đầu tiên xuất hiện trong tất cả các dãy bội số đó.

Ví dụ: Tìm BCNN(5, 7)

• • Bội của 5: {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …}
  • Bội của 7: {0, 7, 14, 21, 28, 35, …}
  • Số chung nhỏ nhất khác 0 là 35.

→ Vậy BCNN(5, 7) = 35.

Phương pháp 2: Phân tích ra thừa số nguyên tố

Đây là cách tìm bội chung nhỏ nhất nhanh nhất và phổ biến trong chương trình học.

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra tất cả các thừa số nguyên tố, cả chung và riêng.
Bước 3: Với mỗi thừa số, lấy số mũ lớn nhất của chúng.
Bước 4: Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau. Tích đó chính là BCNN.

Ví dụ: Tìm BCNN(12, 18)

• • Phân tích: 12 = 2² x 3 và 18 = 2 x 3²
  • Các thừa số nguyên tố đã xuất hiện là 2 và 3.
  • Số mũ lớn nhất của 2 là 2. Số mũ lớn nhất của 3 là 2.
  • Vậy BCNN(12, 18) = 2² x 3² = 4 x 9 = 36.

Phương pháp 3: Sử dụng công thức qua ƯCLN

Có một công thức liên hệ rất hữu ích giữa ƯCLN và BCNN của hai số a và b:

Phương pháp này rất nhanh nếu bạn đã tính được ƯCLN từ trước.

Ví dụ: Tìm BCNN(72, 90)

• Ở phần trước, ta đã tìm được ƯCLN(72, 90) = 18.
• Áp dụng công thức: BCNN(72, 90) = (72 x 90) ÷ 18 = 6480 ÷ 18 = 360.

Các dạng bài tập phổ biến tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Dạng 1: Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 số

Bài tập: Tìm BCNN của 24 và 40.

Cách giải:

• Bước 1: Phân tích 24 và 40 ra thừa số nguyên tố.
  • 24 = 8 x 3 = 2³ x 3
  • 40 = 8 x 5 = 2³ x 5
• Bước 2: Liệt kê tất cả các thừa số nguyên tố chung và riêng. Ta có các thừa số là 2, 3 và 5.
• Bước 3: Chọn số mũ lớn nhất tương ứng của mỗi thừa số.
  • Với thừa số 2, số mũ lớn nhất là 3 (trong 2³).
  • Với thừa số 3, số mũ lớn nhất là 1 (trong 3¹).
  • Với thừa số 5, số mũ lớn nhất là 1 (trong 5¹).
• Bước 4: Nhân các kết quả lại với nhau.
  • BCNN(24, 40) = 2³ x 3¹ x 5¹ = 8 x 3 x 5 = 120.

Dạng 2: Tìm BCNN của nhiều số (>2 số)

Bài tập: Tìm BCNN của 15, 20 và 30.

Cách giải:

• Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
  • 15 = 3 x 5
  • 20 = 4 x 5 = 2² x 5
  • 30 = 6 x 5 = 2 x 3 x 5
• Bước 2: Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3 và 5.
• Bước 3: Chọn số mũ lớn nhất tương ứng.
  • Với thừa số 2, số mũ lớn nhất là 2 (trong 2²).
  • Với thừa số 3, số mũ lớn nhất là 1.
  • Với thừa số 5, số mũ lớn nhất là 1.
• Bước 4: Nhân các kết quả lại.
  • BCNN(15, 20, 30) = 2² x 3¹ x 5¹ = 4 x 3 x 5 = 60.

Dạng 3: Cách tìm BCNN bằng máy tính Casio

Tương tự như ƯCLN, máy tính Casio FX-580VNX cũng có thể tìm BCNN rất nhanh thông qua hàm LCM (Least Common Multiple). Chức năng này có chữ màu đỏ, nằm phía trên phím chia.

Cách tìm bội chung nhỏ nhất trên máy tính 580

1. Để tìm BCNN của 2 số (Ví dụ 24 và 40):

• Bước 1: Nhấn phím ALPHA rồi nhấn phím chia (dấu ÷) để hiện ra chữ LCM(.
• Bước 2: Nhập số đầu tiên: 24.
• Bước 3: Nhấn phím SHIFT rồi nhấn phím ) (dấu đóng ngoặc) để nhập dấu phẩy ngăn cách.
• Bước 4: Nhập số thứ hai: 40.
• Bước 5: Đóng ngoặc ) và nhấn dấu =.

→ Kết quả hiển thị là: 120.

2. Để tìm BCNN của 3 số (Ví dụ 15, 20 và 30):

Thực hiện lồng hai hàm LCM theo công thức: LCM(LCM(a,b),c).

• Bước 1: Bấm ALPHA rồi phím chia để có LCM(.
• Bước 2: Bấm tiếp ALPHA rồi phím chia lần nữa để có LCM(LCM(.
• Bước 3: Nhập 15, bấm dấu phẩy (tổ hợp phím SHIFT và ) ), sau đó nhập 20.
• Bước 4: Đóng ngoặc ). Lúc này màn hình hiển thị: LCM(LCM(15,20).
• Bước 5: Nhập tiếp dấu phẩy, và nhập số cuối cùng là 30.
• Bước 6: Đóng ngoặc ) và nhấn dấu =.

→ Kết quả hiển thị là: 60.

Việc hiểu sâu bản chất và ứng dụng của các công thức toán học như cách tìm ước chung lớn nhất hay BCNN là vô cùng quan trọng để xây dựng một nền tảng tư duy vững chắc cho trẻ. Đây không chỉ là kiến thức trong sách vở, mà còn là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn.

Tại Trường Việt Anh – một trong những trường quốc tế Sài Gòn uy tín, học sinh được hướng dẫn cách tư duy Toán học thông qua phương pháp học trực quan, kết hợp ví dụ thực tiễn và công nghệ hỗ trợ hiện đại. Chương trình học không chỉ tập trung vào việc ghi nhớ công thức, mà còn chú trọng phát triển khả năng phân tích, suy luận logic và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo, giúp các em tự tin chinh phục môn Toán và áp dụng kiến thức vào cuộc sống.