Công Thức Tính Cấp Số Cộng & Các Dạng Bài Tập Cấp Số Cộng

Cấp số cộng là một khái niệm quan trọng trong toán học lớp 11, thường xuất hiện trong nhiều bài tập và kỳ thi. Việc hiểu rõ phần kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết thành công các bài toán liên quan, mà còn là nền tảng vững chắc cho những kiến thức toán học cao cấp sau này. Nhằm giúp các em học sinh nắm vững lý thuyết và vận dụng linh hoạt các công thức, Trường Việt Anh sẽ tổng hợp các dạng bài tập tính cấp số cộng, từ cơ bản đến nâng cao cùng những ví dụ minh họa sinh động.

Cấp số cộng là gì? 

Cấp số cộng là một dãy số gồm vô hạn hoặc hữu hạn các số hạng. Trong đó, mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai) đều bằng tổng của số hạng trước đó cộng với một số không đổi. Số không đổi này được gọi là công sai, ký hiệu là d.

Ví dụ:

• Dãy số tự nhiên 4, 8, 12, 16, 20… là một dãy cấp số cộng với công sai  d = 4.
• Dãy số hằng 7, 7, 7, 7 ( số hạng không đổi)… là một dãy cấp số cộng với công sai d = 0.

Tính chất của cấp số cộng

Trong chương trình toán lớp 11, nếu dãy số Un là một cấp số cộng, thì mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai) luôn là trung bình cộng của hai số hạng liền kề trước và sau nó. Điều này chỉ không xảy ra khi số hạng cuối cùng trong trường hợp dãy số có hữu hạn số hạng.

Tổng hợp công thức cấp số cộng quan trọng cần nắm vững

Trong chương trình đại số THPT, các bạn học sinh đã được giới thiệu về cấp số cộng và cách áp dụng các công thức liên quan. Dưới đây, Trường Việt Anh xin tổng hợp 5 công thức cơ bản thường gặp mà các em cần nắm vững:

Công thức cấp số cộng

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức tính cấp số cộng số hạng tổng quát bằng số hạng đầu và công sai như sau:

U_n = U₁ + (n – 1)d

Trong đó:

• U_n: cấp số cộng
• U₁: số hạng đầu tiên trong cấp số cộng
• d: công sai của cấp số cộng

Công thức cấp số cộng thông qua hai số liền kề

Công thức cấp số liên hệ giữa hai số bất kì

Công thức liên hệ giữa hai số bất kỳ trong cấp số cộng:

U_n = U_m + (n – m)d

Trong đó:

• U_n: cấp số cộng
• U_m: số hạng bất kỳ thứ m trong cấp số cộng
• d: công sai cấp số cộng

Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Để tính tổng n số hạng đầu cho cấp số cộng un ta có hai công thức như sau:

>>>> Có thể bạn quan tâm:

Công thức Vectơ: Lý thuyết và bài tập kèm lời giải chi tiết nhất
Bảng đạo hàm và phương pháp giải bài đạo hàm hiệu quả

Giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao thường gặp

Dựa trên các công thức cấp số cộng đã được học, chúng ta có thể áp dụng để giải các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác. Để giúp các em ôn lại kiến thức, Trường Việt Anh sẽ đưa ra những dạng bài tập điển hình kèm lời giải chi tiết ngay sau đây:

• Tìm số hạng tổng quát

Vậy tổng của 50 số hạng đầu tiên là 25100

• Tìm số hạng khi biết tổng và số số hạng

Bài tập: Cho một cấp số cộng có 20 số, tổng của 20 số hạng đầu tiên là 760. Biết số hạng đầu tiên U1 =  8. Tính số U15 của cấp số cộng này?

Đáp án:

Áp dụng công thức tổng: Sn = n2 . ( 2U1 + (n – 1)d)

Ta có:

S20 = 202 . ( 2. 8 + (20 – 1)d)

760 = 10 . (16 +19d)

760 = 160 +190d

• Tìm công sai

• Chứng minh một dãy số

Bài tập: Chứng minh rằng dãy số 2, 7, 12, 17, 22,… là một cấp số cộng

Đáp án:

Áp dụng công thức: d = U_n+1 – U_n

Ta có:

• Công sai giữa số hạng thứ hai và số hạng đầu tiên là: d = 7 – 2 = 5
• Công sai giữa số hạng thứ ba và số hạng thứ hai là: d = 12 – 7 = 5
• Công sai giữa số hạng thứ năm và số hạng thứ tư là:  d = 22 – 17 = 5

Từ các phép tính trên, ta thấy rằng d = 5 là công sai không đổi giữa các số hạng liên tiếp. Theo định nghĩa, một dãy số là cấp số cộng nếu mọi số hạng sau đều có thể được tính bằng số hạng trước cộng với một số không đổi (công sai). Do đó, dãy số  2, 7, 12, 17, 22… là một cấp số cộng với công sai  d = 5.

• Tìm số số hạng

Bài tập: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu tiên là 5 và công sai là 3.

Đáp án:

Áp dụng công thức số hạng tổng quát:  Un = U₁ + (n – 1) . d

Ta có:

U₁₀ = U₁ + (10 – 1) . d

U₁₀ =  5 + (10 -1) . 3

U₁₀ =  5 + 27

U₁₀ = 32

Vậy số hạng thứ 10 của cấp số cộng là 32

• Tìm số hạng đầu

Bài tập: Cho U_n thỏa mãn các điều kiện sau:

U₁ + U₄ = 20

U₇ – U₃ = 10

Tìm số hạng đầu tiên của U_n

Đáp án:

Theo đề bài ta có:

U₁ + U₄ = 20

U₁ + U₁ + 3d = 20

U₁+ 3d = 20

U₇ – U₃ = 10

(U₁ + 6d) – (U₁ + 2d) = 4d

4d = 10

d = 2.5

Thay d = 2.5 vào phương trình 2U₁+ 3d = 20, ta có:

2U₁+ 3 . 2.5 = 20

2U₁ + 7.5 = 20

2U₁ = 12.5

U₁= 6.25

Vậy số hạng đầu tiên của U_n là U₁= 6.25

Với những kiến thức về cấp số cộng đã được tổng hợp chi tiết ở trên, hy vọng các bạn học sinh đã có một nền tảng vững chắc để chinh phục những bài toán phức tạp. Nếu các bạn muốn tìm hiểu thêm nhiều điều thú vị về toán học, phát triển tư duy logic và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề, hãy đến với Trường Việt Anh – Hệ thống trường quốc tế uy tín HCM

Sở hữu môi trường học tập hiện đại, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm và các chương trình đào tạo chất lượng cao, chúng tôi cam kết sẽ đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức. Liên hệ với chúng tôi ngay hôm nay để được trải nghiệm môi trường học tập hoàn toàn mới:

– Hotline: 091.696.1409

– Website: truongvietanh.com

– Địa chỉ: 

• Cơ sở Gò Vấp: Số 160/72 đường Phan Huy Ích, P.12, Q.Gò Vấp, TPHCM.
• Cơ sở Phú Nhuận: Số 269A đường Nguyễn Trọng Tuyển, P.10, Q. Phú Nhuận, TPHCM.
• Cơ sở Bình Tân: Số 7 đường 38A, P. Tân Tạo, Q. Bình Tân, TP.HCM.