Cấp Số Nhân Là Gì? Công Thức Tính Và Bài Tập Minh Họa

Ngoài cấp số cộng thì cấp số nhân cũng là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học Trung học phổ thông. Tuy nhiên, điểm kiến thức này khá phức tạp và cần hiểu rõ từ gốc cũng như luyện tập qua nhiều dạng bài tập khác nhau để có thể ghi nhớ, vận dụng công thức một cách hiệu quả. Cùng Việt Anh điểm lại kiến thức và tổng hợp các công thức tính qua bài viết dưới đây.

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số tự nhiên hữu hạn hoặc vô hạn thỏa mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai. Trong đó, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng phía trước nó với một hằng số không đổi. Hằng số này được gọi với tên là công bội q của cấp số nhân. Có thể hiểu đơn giản là:

• \(u_n\) là cấp số nhân khi với ⇔ \(\forall n \geq 2,\; u_{n-1},\; n \in \mathbb{N}^*\). (Với mọi số hạng lớn hơn hoặc bằng 2 thì \(u_{n-1}\), trong đó \(n\) thuộc tập số tự nhiên \(\mathbb{N}^*\)).

Ví dụ: Dãy số tự nhiên \((u_n)\) với \(u_n = 2^n\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 2\) và công bội \(q = 2\).

Tìm hiểu khái niệm cấp số nhân

Công bội q

q là hằng số hoặc công bội của \((u_n)\). Trong đó, công thức tính công bội q như sau:
\[q = \frac{u_{n+1}}{u_n}\]

Ví dụ:

• Cho \(u_1 = 2,\; u_2 = 4\). Tính công bội q.

Ta có: \[q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{2} = 2\]

• Cho \(u_3 = 27,\; u_4 = 81\). Tính công bội q.

Ta có: \[q = \frac{u_4}{u_3} = \frac{81}{27} = 3\]

Công thức tính công bội q

Số hạng tổng quát

Cách tính số hạng cấp số nhân công thức tổng quát có dạng như sau:
\(u_n = u_1 \cdot q^{\,n-1}, \; (n \geq 2)\).

Ví dụ: Cho dãy \((u_n)\) thỏa mãn \(u_1 = 7,\; q = 3\). Tính \(u_5\).

Ta có: \(u_5 = u_1 \cdot q^{4} = 7 \cdot 3^4 = 567\).

Tổng n số hạng đầu 

Tổng n số hạng đầu được được quy định bằng ký hiệu toán học là \(S_n\). Trong đó, công thức tính số hạng tổng quát \(S_n\) như sau:

\( S_n = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1} = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}, \, (q \neq 1). \)

Ví dụ: Cho cấp số nhân \((u_n)\) thỏa mãn \( u_1 = 7, q = 3 \). Tính \( S_{10} \).

Ta có: \( S_{10} = \frac{u_1(1 – q^{10})}{1 – q} = \frac{7(1 – 3^{10})}{1 – 3} = \frac{7(3^{10} – 1)}{2} = 206668. \)

Công thức tính tổng cấp số nhân n số hạng đầu Sn

Tính chất cấp số nhân

Với \(u_n\) là một cấp số nhân, từ số hạng thứ 2 thì bình phương của mỗi số hạng sẽ bằng tích của số đứng trước và sau nó, trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân thuộc dãy số hữu hạn.

\(\Leftrightarrow (u_k)^2 = u_{k-1}\cdot u_{k+1}\)

Ví dụ: Cho \((u_n)\) với công bội \(q > 0\). Biết \(u_1 = 2,\; u_3 = 6\). Hãy tìm \(u_4\).

Ta có:

• \((u_2)^2 = u_1 \cdot u_3 = 12 \quad (1)\).
• \((u_3)^2 = u_2 \cdot u_4 \quad (2)\).

Từ (1), do \((u_2)^2 > 0\) (vì \(u_1 > 0,\; q > 0\)).

⇒\( u_4 = \frac{u_3^2}{u_2} \)

• Khi \(q = 0\) thì dãy số tồn tại dưới dạng: \(u_1; 0; 0; \dots; 0; \dots\) và \(S_n = u_1\).
• Khi \(q = 1\) thì dãy số tồn tại dưới dạng: \(u_1; u_1; u_1; \dots; u_1; \dots\) và \(S_n = n \cdot u_1\).
• Khi \(u_1 = 0\) thì với mọi \(q\), dãy số có dạng: \(0; 0; 0; \dots; 0; \dots\) và \(S_n = u_1\).

Các tính chất của cấp số nhân (u_n)

Có thể bạn quan tâm: 10 cách học giỏi môn Toán hiệu quả được nhiều học sinh áp dụng

Tổng hợp các công thức tính cấp số nhân cơ bản

Cùng Trường Việt Anh điểm lại các cách tính cấp số nhân cơ bản qua nội dung tổng hợp dưới đây:

Dạng 1: Nhận biết CSN

Để nhận biết cấp số nhân, học sinh có thể áp dụng phương pháp tính công bội \( q = \frac{u_{n+1}}{u_n}, \; \forall n \geq 1 \). Sau đó kết luận như sau:

• Nếu công bội q không đổi thì dãy số \(u_n\) là cấp số nhân.
• Nếu công bội q thay đổi thì dãy số \(u_n\) không phải là cấp số nhân.

Ví dụ:

Bài 1: Một cấp số nhân có \(u_1 = 2\) và q = 2, viết 6 số hạng đầu tiên.

Theo công thức của cấp số nhân \(u_n = q^n\), ta có 6 số hạng đầu tiên trong dãy số lần lượt như sau:

• Số hạng 1: \(u_1 = 2^1 = 2\).
• Số hạng 2: \(u_2 = 2^2 = 4\).
• Số hạng 3: \(u_3 = 2^3 = 8\).
• Số hạng 4: \(u_4 = 2^4 = 16\).
• Số hạng 5: \(u_5 = 2^5 = 32\).
• Số hạng 6: \(u_6 = 2^6 = 64\).

Bài 2: Cho dãy số nhân \(u_n\) có số hạng \(u_2 = 10\) và số hạng \(u_5 = 1259\). Tìm số hạng thứ nhất và 5 số hạng đầu tiên.

Ta có: Ta có: \(q^{(5-2)} = q^3\) hay \(q^3 = \frac{1250}{10} = 125 = 5^3\). Từ đó, công bội \(q = 5\).

⇒ \(u_1\) = 10 = 5 = 2. Như vậy số hạng thứ nhất là 2.

Với \(u_1\) = 2, 5 số hạng tiếp theo lần lượt là 2, 10, 50, 1250 và 6250.

Bài 3: Cho \( u_n \) thỏa mãn điều kiện \( u_n = 3^{\left( \frac{1}{2} + 1 \right)} \). Dãy số \( u_n \) trên là cấp số nhân đúng hay sai?

Ta có: \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{\left( \frac{n+1}{2} + 1 \right)}}{3^{\left( \frac{n}{2} + 1 \right)}} = \sqrt{3} = \text{const}\) không phụ thuộc vào n. Như vậy, dãy số \(u_n\) là một cấp số nhân với \( u_1 = 3\sqrt{3} \) và \( q = \sqrt{3}\).

Áp dụng phương pháp tính công bội q để nhận biết cấp số nhân

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Để tìm công bội q, học sinh tận dụng kiến thức các tính chất của cấp số nhân và biến đổi. Dưới đây là một số bài toán ví dụ minh họa dễ hiểu mà học sinh có thể tham khảo:

Ví dụ:

Bài 1: Cho dãy số nhân \(u_n\) với số hạng đầu \(u_1 = 3\) và số hạng hai \(u_2 = -6\). Tính công bội q.

• Từ công thức ta có: Công bội q = \(u_2\)\(u_1\) = -63 = -2.

Bài 2: Cho cấp số nhân \(u_n\) với số hạng đầu \(u_1 = 2\) và số hạng hai \(u_2 = 4\). Tính công bội q.

• Từ công thức ta có: Công bội q = \(u_2\)\(u_1\) = 42 = 2.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Đối với dạng này, học sinh áp dụng công thức tính số hạng tổng quát \( u_n = u_1 \cdot q^{n – 1}, \, (n \geq 2) \) để tìm số hạng cấp số nhân.

Ví dụ:

Bài 1: Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội q của cấp số nhân, biết:

\[u_4 – u_2 = 72\]

\[u_5 – u_3 = 144\]

Ta biến đổi:

\[u_1 \cdot q^3 – u_1 \cdot q = 72\]

\[u_1 \cdot q^4 – u_1 \cdot q^2 = 144\]

\[\Rightarrow\quad u_1 \cdot q \cdot (q^2 – 1) = 72\]

\[u_1 \cdot q^2 \cdot (q^2 – 1) = 144\]

\[\Rightarrow\quad q = \frac{144}{72} = 2 \quad \Rightarrow u_1 = 12\].

Như vậy, \(u_n\) sẽ có số hạng đầu \(u_1 = 12\) và công bội q = 2.

Bài 2: Cho cấp số nhân \(u_n\) với số hạng thứ ba \(u_3 = 8\) và số hạng thứ 5 \(u_5 = 32\). Tính số hạng thứ 10 của \(u_n\).

Ta có: \( q^2 = \frac{u_5}{u_3} = 4 \Rightarrow q = \pm 2 \).

• Với \( q = 2 \), thì \( u_{10} = u_3 \cdot q^7 = 8 \cdot 27 = 1024 \).
• Với \( q = -2 \), thì \( u_{10} = u_3 \cdot q^7 = 8 \cdot (-2)^7 = -1024 \).

Bài 3: Cho dãy số nhân \(u_n\) với số hạng đầu tiên \(u_1 = 3\) và công bội q = 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân đó.

Từ công thức: \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \) \(\Leftrightarrow\) \( u_5 = u_1 \cdot q^4 = 3 \cdot 2^4 = 48 \).

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Đối với dạng này, học sinh áp dụng công thức tổng cấp số nhân như sau:

\[S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \frac{u_1 \cdot (1 – q^n)}{1 – q}\]

Ví dụ:

Bài 1: Tính tổng cấp số nhân \((u_n)\): S = 2 + 6 + 18 + 13122.

• Ta có: \(u_1 = 2\), \(u_2 = 6\), q = \(u_2\)\(u_1\) = 62 = 3
• Từ đó: \(13122 = u_n = u_1\cdot q^{n-1} = 2\cdot 3^{n-1} \Leftrightarrow n = 9 \Rightarrow S = S_9 = u_1\cdot \frac{q^9 – 1}{q – 1}\)

Bài 2: Cho dãy số nhân liên tiếp \(u_n\) với \(u_3 = 243 \cdot u_8\) và \(u_4 = \frac{2}{27}\). Tìm 5 số hạng đầu tiên và tổng 10 số hạng đầu của \(u_n\) là bao nhiêu?

5 số hạng đầu tiên của \(u_n\) trên lần lượt là:

• \( u_1 = 2 \)
• \( u_2 = \frac{2}{3} \)
• \( u_3 = \frac{2}{9} \)
• \( u_4 = \frac{2}{27} \)
• \( u_5 = \frac{2}{81} \)

Tổng của cấp số nhân trên với 10 số hạng đầu tiên như sau:

\[S_{10} = u_1 \cdot \frac{q^{10} – 1}{q – 1} = 2 \cdot \frac{\left( \frac{1}{3} \right)^{10} – 1}{\frac{1}{3} – 1} = \frac{59048}{19683}\]

Bài 3: Cho \(u_n\) thỏa mãn điều kiện \(u_n = 3^{\left(\frac{n}{2} + 1\right)}\). Xác định dãy số này có phải là cấp số nhân và tính tổng \(S = u_2 + u_4 + u_6 + \dots + u_{20}\).

Ta có: \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3\left(\frac{n+1}{2} + 1\right)}{3\left(\frac{n}{2} + 1\right)} = \sqrt{3} = \text{const}\) không phụ thuộc vào n. Như vậy, dãy số \(u_n\) là một cấp số nhân với \(u_1 = 33\) và công bội \(q = 3\).

Dãy số \(u_2, u_4, u_6, \dots, u_{20}\) lập thành một cấp số nhân với \(u_2 = 9\) và \(q = 3\).

Vậy tổng S là: \(S = u_2 + u_4 + u_6 + \dots + u_{20} = \frac{u_2 \cdot (1 – 3^{10})}{1 – 3} = 9 \cdot \frac{(3^{10} – 1)}{2}\).

Dạng 5: Tìm CSN

Để tìm cấp số nhân chính xác, học sinh cần xác định những thành phần cấu tạo một cấp số nhân bao gồm: \(u_1\) số hạng đầu và công bội q. Từ đó, suy ra công thức tính số hạng tổng quát.

Ví dụ:

Bài 1: Cho cấp số nhân \(u_n = \frac{2}{3^n – 1}\) mà \(u_n\) = 26561 ⇒ \(3^n – 1 = 6561\) ⇒ n = 9. Tìm số hạng đầu tiên \(u_1\).

• Ta có:

\( u_1 \cdot (1 + q^4) = \frac{82}{11} \) và \( u_1 \cdot (1 + q + q^2 + q^3 + q^4) = 11 \)

⇔ \( u_1 \cdot q \cdot (1 + q + q^2) = \frac{32}{11} \) và \( u_1 \cdot (1 + q^4) = \frac{82}{11} \)

⇒ \( \frac{1 + q^4}{q \cdot (1 + q + q^2)} = \frac{82}{39} \) ⇔ \( q = 3 \) hoặc \( q = \frac{1}{3} \).

Từ đó, số hạng đầu tiên của \(u_n\) lần lượt là \(u_1\) = 8211 hoặc \(u_1\) = 111.

Bài 2: Tìm cấp số nhân \(u_n\) có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và 5 số hạng sau là 62.

• Ta có: \( S_5 = u_1 \cdot \frac{1 – q}{1 – q} \).

\( S_5′ = u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 = u_1 \cdot q + u_2 \cdot q + u_3 \cdot q + u_4 \cdot q + u_5 \cdot q = q \cdot (u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6) = q \cdot S_5 \).

Mà \( S_5 = 31 \) và \( S_5′ = 62 \) \(\Rightarrow q = 2\), \( u_1 = \frac{S_5 \cdot (1 – q)}{1 – q^5} = 1 \).

Như vậy, \(u_n\) sẽ lần lượt là 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân \(u_n\) có công bội q thỏa mãn điều kiện -1 < q < 1. Cụ thể, công thức như sau: \[S_n = u_1 \cdot (1 – q^n) \cdot (1 – q) = u_1 \cdot (q^n – 1) \cdot (q – 1)\]

• Trong đó: \(S_n\) là tổng n số hạng đầu tiên của \(u_n\)_.

Ví dụ: 12, 14, 18, 116 là một dạng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 12

Cấp số nhân lùi vô hạn có q lớn hơn – 1 và nhỏ hơn 1

>>>> Có thể bạn quan tâm:

• Cách giải phương trình bậc 2 đơn giản kèm theo File bài tập
• 7 hằng đẳng thức đáng nhớ – Công thức và cách nhớ nhanh

Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Cách tính tổng của cấp số nhân có thể áp dụng theo công thức \( S = \frac{u_1}{1 – q} \). Dưới đây là một số dạng bài tập tính tổng cấp số nhân lùi kèm lời giải chi tiết mà học sinh có thể tham khảo.

Bài 1: Tính tổng cấp số nhân S = 1 – 13 + 19 – 127 + …

• Ta có: \( u_1 = 1 \) và \( q = – \frac{1}{3} \) \(\Rightarrow\) \( S = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \).

Bài 2: Biết tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 53 và tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là 3925. Hãy xác định \(u_1\) và q của cấp số.

• Ta biến đổi: \( u_1 \cdot q^3 – u_1 \cdot q = 72 \) và \( u_1 \cdot q^4 – u_1 \cdot q^2 = 144 \)

⇒ \( u_1 \cdot q \cdot (q^2 – 1) = 72 \) và \( u_1 \cdot q^2 \cdot (q^2 – 1) = 144 \) ⇒ \( q = \frac{144}{72} = 2 \) ⇒ \( u_1 = 12 \).

Như vậy, trên đây là thông tin tổng hợp về các công thức cấp số nhân cùng những bài tập ví dụ kèm lời giải chi tiết. Hy vọng bài viết này sẽ hỗ trợ các bạn học sinh nắm được những công thức toán học mới và vận dụng một cách chính xác. Ngoài ra, nếu quý phụ huynh đang tìm kiếm một trường trung học phổ thông quốc tế Việt Nam cho con em mình thì hãy liên hệ ngay đến Trường Việt Anh để được tư vấn chi tiết về mức học phí trường quốc tế cũng như chương trình đào tạo phù hợp nhất. Là một trong những hệ thống trường liên cấp quốc tế, uy tín tại TPHCM, thiết kế chương trình giảng dạy của chúng tôi không chỉ hỗ trợ học sinh tiếp cận với kiến thức toán học dễ dàng mà còn phát triển tư duy logic một cách hiệu quả.

Mọi thông tin chi tiết về chương trình đào tạo tại trường Việt Anh, vui lòng liên hệ theo một trong những phương thức sau:

• Địa chỉ: 
  • Cơ sở Gò Vấp: 160/72 Phan Huy Ích, phường An Hội Tây, Tp.HCM.
  • Cơ sở Phú Nhuận: 269A Nguyễn Trọng Tuyển, phường Phú Nhuận, Tp.HCM.
  • Cơ sở Bình Tân: 951/7 Tỉnh lộ 10, phường Bình Tân, Tp.HCM.
• Hotline: 091 696 1409
• Zalo: 0901849306
• Website: www.truongvietanh.com